Metodos Iterarios

Métodos Iterarios

Un método iterativo trata de resolver un problema (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial.

Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=bencontrando la inversa de la matriz A).

Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible

Método de Regula Falsi

El cálculo numérico, el método de la regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

Este método sirve para encontrar la raíz o solución real de una ecuación. Al decir que encuentra un resultado hay que tomar en cuenta que no todas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes de aplicar el método para que sea efectivo.

Procedimiento

Debemos considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de los extremos del intervalo.

El Método de Bisección, conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del su intervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Se busca una solución de la ecuación f(x) = 0, una raíz de f. Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a₀,b₀] con f(a₀) y f(b₀) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [a_k, b_k] que sigue incluyendo una raíz de la función f.

A partir de un intervalo [a_k, b_k] se calcula un punto interior c_k:

Software de cómputo numérico

Netlib

Netlib (NET LI Brary) es una colección grande de software, documentos, bases de datos gratis que son de interes para las comunidades científicas y de métodos numéricos. El depósito es mantenido por los Laboratorios Bell de AT&T, la Universidad de Tennessee y el Laboratorio Nacional Oak Ridge, y replicado en varios sitios alrededor del mundo.

Netlib contiene software de alta calidad que ha sido probado en forma intensiva, pero todo el software libre no tiene garantía y poco (si existe) soporte. Para poder usar el software, primero se tiene que descargar en su computadora y entonces compilarlo.

Paquetes de software comercial para cómputo numérico general:

NAG

El Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más.

IMSL

La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios.

NUMERICAL RECIPES

Los libros de Numerical Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una “receta (recipe)” para resolver algún problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado por NAG o IMSL. Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales de señal, crear código VHDL y otras.

MATLAB

Es un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores.

GNU OCTAVE

Es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.

Tipos de Errores

Errores Inherentes a los Métodos Numéricos.

Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real y una aproximación a este valor.

Error de redondeo

Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando.

Error por Truncamiento

Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma.

Error Numérico Total

Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

Errores Humanos

Son los errores por negligencia o equivocación. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Los errores humanos son inevitables pero se pueden minimizar.

Error inherente

En ocasiones, los datos que se inician los cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud física.

Error Absoluto

El error absoluto no es negativo. Es una colección (suma) de errores. Debido a que si un número y su parte fraccionario conformada por un conjunto de dígitos infinita requieren ser representada numéricamente es su forma aproximada es donde se presenta este tipo de error.

Error relativo

Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades.

Conceptos Basicos

Cifras significativas: Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud: Se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.

Precisión: Se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

Inexactitud: (conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad a calcular.

Imprecisión: También se le conoce como incertidumbre. Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

Método de Bisección

Método de la Bisección

El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

Algoritmo

Paso 1

Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:

f(Xa)f(Xb) < 0

Paso 2

La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Paso 3

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:

a.    Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).

b.    Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).

Paso 4

Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia

Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.

Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.

Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua  en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es, que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a, b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos f(a)*f(b) <0, el valor cero sería un valor intermedio entre f(b) y f(b), por lo que con certeza existe un  en  que cumple f(p) = 0 . De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x) =0.

Método de punto fijo

Método de la Bisección El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación. Algoritmo Paso 1 Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo: f(Xa)f(Xb) < 0 Paso 2 La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma: Paso 3 Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz: a.    Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm). b.    Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm). Paso 4 Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior. Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo. Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula: Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua  en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es, que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a, b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos f(a)*f(b) <0, el valor cero sería un valor intermedio entre f(b) y f(b), por lo que con certeza existe un  en  que cumple f(p) = 0 . De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x) =0.

Importancia de los Métodos Numéricos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para aproximar de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética.

Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:  Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices.