martes, 5 de marzo de 2013

Método de Bisección


Método de la Bisección
El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.
Algoritmo
Paso 1
Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:
f(Xa)f(Xb) < 0
Paso 2
La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:
Descripción: http://www.monografias.com/trabajos43/metodo-biseccion/Image4626.gif
Paso 3
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:
a.    Si f(Xa)f(Xb) < 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).
b.    Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).
Paso 4
Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia
Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.
Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.
Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:
Descripción: http://www.monografias.com/trabajos43/metodo-biseccion/Image4627.gif

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua  en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es, que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a, b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos f(a)*f(b) <0, el valor cero sería un valor intermedio entre f(b) y f(b), por lo que con certeza existe un  en  que cumple f(p) = 0 . De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x) =0.

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