Metodo de la secante

Método de la secante En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo. En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último. El método se define por la relación de recurrencia: Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial. “Convergencia” El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es  donde es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de Newton-Raphson. En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson.

Métodos para Sistemas de ecuaciones lineales

Metodo de Gaus El método de Gauss resuelve un sistema de ecuaciones lineales de forma simultánea. El método consiste de dos fases. La primera fase se le conoce como “eliminación hacia adelante”, debido a que realiza una eliminación de coeficientes comenzando de arriba hacia abajo, hasta dejar una matriz de coeficientes del tipo triangular superior. La segunda se le conoce como “sustitución hacia atrás”, por que se parte de la última ecuación del sistema, para despejar la incógnita, la cual, ya se puede resolver debido a que en esa última ecuación únicamente se desconoce una incógnita, por el hecho de tener un sistema de ecuaciones de tipo matriz triangular superior.  EJEMPLO: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 Ec.1 0.1x1 + 7x2 -0.3x3 = -19.3 Ec.2 0.3x1 -0.2x2 + 10x3 = 71.4 Ec.3   ELIMINACION HACIA ADELANTE Ecuación pivote = Ec.1 Elemento pivote = x1 (incógnita a eliminar de las ecuaciones restantes) Se normaliza la ecuación 1 para restarla en Ec.2: Para obtener la nueva Ec.2, se restan las ecuaciones Ec.2 = Ec.2 – Ec.1’ 0x1 + 7.003333x2 -0.293334x3 = -19.561666 Ec.2 Se normaliza la ecuación 1 para restarla en Ec.3:

Métodos para Sistemas de ecuaciones no lineales

Newton-Raphson Multivariable El metodo de Newton-Raphson modificado el cual se describe acontinuacion consiste en aplicar el metodo de Newton-Raphson multivariable dos veces(para el caso de un sistema de necuaciones no lineales con n incógnitas, se aplicara n veces), una para cada variable. Cada vez que se hace esto, se considera las otras variables fijas. Considerese de nuevo el sistema: Tomando los valores iniciales x0,y0, se calcula a partir del metodo de Newton-Raphson univariable un nuevo valor x1 de la forma siguiente: Ya teniendo f1(x0,y0) y df1/dx estos dos evaluados en x0,y0. Hay que observar que se a obtenido x1 a partir de f1 y los valores mas recientes de X y Y; x0,y0. Ahora emplearemos f2 y los valores mas recientes de X y Y; x1, y0 para calcular y1 De esta forma : Donde df2/dy se evalúa en x1,y0. Se obtiene ahora x1 y y1. con estos valores se calcula x2, después y2, y así sucesivamente. Este metodo converge a menudo si x0,y0 esta muy cerca de xnegada y ynegada, y requiere la evaluacion de solo 2n funciones por paso (cuatro para el caso de dos ecuaciones que se esta manejando). Hay que observar que se han empleado desplazamientos sucesivos, pero los desplazamientos simultaneos tambien son aplicables. En la aplicación de este metodo se pudo tomar f2 para evaluar x1 y f1, a fin de evaluar y1, asi:

Derivacion Numerica

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma. Por definición la derivada de una función f(x) es:  Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán: La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado: La grafica siguiente presenta la diferencia entre las dos formas de obtener la derivada de una función  f en x= x0 , En la gráfica es evidente el error que existe al utilizar la expresión F(x0 + h) - F(x0)/h para evaluar la derivada o pendiente de f en x0. una mejor alternativa para evaluar F'(x0) es la construccion de un polinomio de lagrange. Con lo anterior aclarado se procede a la construcción del polinomio de Lagrage de primer orden y su término de error.: donde  es polinomio de primer orden definido por x0,x1. El término  es un valor que está en función de x y se encuentra en el intervalo . Así, la función es ahora,

Integracion Numerica

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El términocuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.  El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida: Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue: Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como elmétodo de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Métodos para integrales unidimensionales Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado. De todos modos, un modo de integración por «fuerza bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños.

Polinomio de interpolacion de Lagrange

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpolaun conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. 

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc.. situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El problema de la interpolación es de gran importancia en el análisis numérico. En este artículo vemos muy brevemente una manera elemental de interpolación y la obtención de la conocida Fórmula Interpoladora de Lagrange.

• Interpolacion y Polinomio de Interpolacion de Lagrange

Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que

Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1

Se requiere entonces que el numerador contenga

(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn)

El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.

• N-ésimo polinomio interpolante de Lagrange

Metodos de Solucionde EDO

Método de Euler El Método de Euler para dar solución a una EDO utiliza la ecuación de la pendiente  o la serie de Taylor truncada hasta el segundo término.     La información que se tiene del problema es; las condiciones iniciales t0 = 0 seg,s(t0) = 0 metros  y la EDO, por lo cual, la ecuación de la pendiente puede escribirse, haciendo uso de dicha información, como; Para obtener un nuevo punto, (t1, s(t1)), que forma parte de la función de posición,s(t), se despeja s(t1), De la ecuación anterior lo único que  falta para obtener el nuevo punto es el valor de t1, tiempo de caída transcurrido, que se puede proponer de un segundo. Así, con lo anterior se pretende saber la distancia recorrida por el paracaidista después de un segundo de lanzarse. Teniendo los datos y sustituyéndolos en la relación des(t1) anterior, se obtiene, La siguiente figura presenta la idea anterior: Aun que es ilógico pensar que después de un segundo el paracaidista no ha caído nada, acordémonos que esto es una aproximación únicamente.